1.Etwa im 5. Jahrhundert vor der Zeitrechnung lebten im südlichen Italien die PYTHAGOREER. Das war eine Gemeinschaft von Wissenschaftlern, die sich besonders mit Mathematik beschäftigten. Die Pythis - wie wir sie einfach mal nennen wollen - hatten ihren Namen von dem Mann PYTHAGORAS (um 580 - 496 v.u.Z.), der heute noch durch den Satz des PYTHAGORAS bekannt ist.
Die Pythis waren zeitweise eine Art Geheimbund mit politischem Einfluss. Auch HIPPASOS (zwischen 520 und 480) war einer von ihnen. Die Pythis hatten eine eigene Philosophie entwickelt, in der die natürlichen Zahlen und Zahlenverhältnisse eine fast heilige Rolle spielten. Sie nahmen an, dass die ganze Welt aus solchen Zahlenverhältnissen aufgebaut sei.
Mit PYTHAGORAS ist besonders das rechtwinklige Dreieck verbunden. Ob der uns bekannte Satz tatsächlich von ihm entdeckt wurde, ist sehr fraglich, denn auch anderswo in der Welt kannte man diesen Zusammenhang
Das kleinste Dreieck, für das diese Beziehung gilt, hat die Seitenlängen: 3, 4, 5 und war auch den Alten Ägyptern bekannt. Weil hier immer drei Zahlen zusammengehören, nennt man sie Zahlen-Tripel und speziell pythagoreische Zahlentripel. Davon gibt es unendlich viele, z.B. 65, 72, 97 oder 36, 77, 85 oder 48, 55, 73. Diese Tripel bestehen ebenfalls aus natürlichen ganzen Zahlen und deshalb war für die Pythis die Welt in Ordnung. Man konnte sogar zeigen, dass alle diese Tripel aus natürlichen Zahlen bestehen, denn es gilt die Formel
Was ist daran Besonderes? Die beiden Brüche
die man allgemein auch als Verhältnisse bezeichnen kann, sind Verhältnisse von ganzen Zahlen. Dass ein solches Verhältnis, wenn man es "realisiert", also die Division ausführt, selbst ein Dezimalbruch mit Stellen nach dem Komma hat, spielt dabei keine Rolle.
Bekanntlich heißt einer unserer heutigen Zahlenbereiche die rationalen Zahlen, wozu die ganzen und die gebrochenen Zahlen gehören. Ein Bruch wie
ist eine rationale Zahl, Zähler und Nenner sind ganze Zahlen und das Ergebnis ist ein Dezimalbruch mit einer periodischen Wiederkehr von Dezimalstellen, von denen es keine letzte gibt: 0,3333333... Die Pythis haben gesehen, dass man im Prinzip jede rationale Zahl durch einen solchen Bruch, also das Verhältnis zweier ganzer Zahlen darstellen kann, und sei es notfalls auch als Summe solcher Brüche.
Noch eine andere Gesetzmäßigkeit haben die Pythis geschätzt. Man kann zu zwei ganzen Zahlen a und b eine dritte Zahl m finden, die ihrerseits in einem besonderen Verhältnis zu a und b steht, sozusagen ein mathematisches Dreiecksverhältnis
Das m heißt auch mittlere Proportionale. EUKLID schreibt in seinen Elementen, Buch VIII wann es zwischen a und b eine mittlere Proportionale gibt und wann nicht.
Ein solches Verhältnis von zwei ganzen Zahlen hat immer eine gemeinsame Zahl, die in beiden Zahlen drinsteckt, deshalb kann man sagen, beide Zahlen haben ein gemeinsames Maß. So steckt in
das gemeinsame Maß 17. Selbst wenn Zähler und Nenner teilerfremd sind, dann steckt auf alle Fälle noch die 1 als gemeinsames Maß, als Einheit drin. Weil beide Zahlen miteinander vergleichbar sind, nennt man sie mit dem entsprechenden Fremdwort kommensurabel, was die Sache auch nicht gerade verständlicher macht.
Kein Geringerer als EUKLID hat im 10. Buch seiner "Elemente" eine Definition niedergeschrieben, die auch zweieinhalbtausend Jahre später noch unverändert und praktikabel ist.
Kommensurabel heißen Größen, die von demselben Maß gemessen werden, und inkommensurabel solche, für die es kein gemeinsames Maß gibt.
In dieser lakonischen Formulierung steckt eine der wichtigsten Erkenntnisse über die Struktur unserer Welt.
2.
Alles änderte sich für die Pythis, als HIPPASOS eine Entdeckung macht, die ihn das Leben kosten sollte. Er entdeckte, dass es Verhältnisse gibt, die weder ein gemeinsames Maß haben, geschweige denn eine mittlere Proportionale, also inkommensurable Größen (nicht vergleichbar) sind. Denn es gilt folgende Wahrheit: Es ist zwar jeder gemeine Bruch mit ganzzahligem Zähler und Nenner ein Dezimalbruch, aber nicht jeder Dezimalbruch kann als gemeiner Bruch dargestellt werden. Und das haben Mathematiker schon ziemlich früh erkannt.
HIPPASOS demonstrierte seine Entdeckung ausgerechnet am rechtwinkligen Dreieck, genauer gesagt am Quadrat und seiner Diagonale. Nach dem Satz des PYTHAGORAS gilt
HIPPASOS zeigte, dass a und c also die Seite und die Diagonale eines Quadrates inkommensurabel sind. Man findet auch keinen Bruch, so dass gilt
Angenommen, das Quadrat hat die Seitenlänge 1 (vielleicht das beliebteste Quadrat unter Mathematikern), dann ist
Und genau für dieses c gibt es keine zwei ganzen Zahlen d und e für die gilt
Damit war die Weltordnung der Pythis zwar nicht völlig zusammengebrochen, doch sie hatte einen Knacks bekommen. Die Welt der kommensurablen Größen gab es tatsächlich, aber es gab offenbar auch noch eine andere Welt der inkommensurablen Größen. Vielleicht war das so etwas wie in der "Dunklen Bedrohung" bei StarWars, wo von einer geheimnisvollen Vergenz der Macht die Rede ist.
So erzählt die Geschichte, die Pythis hätten HIPPASOS gelegentlich einer Schiffsfahrt über Bord geworfen, also praktisch ermordet. Das ist allerdings unverständlich, denn schließlich war mit HIPPASOS' Tod die Sache nicht aus der Welt geschafft. Das Problem lag woanders. HIPPASOS' Entdeckung war nicht zu leugnen, jedoch - sie war nicht bewiesen! Man kann es sich auch so vorstellen: Als HIPPASOS gesagt hatte, es gebe keine zwei ganzen Zahlen, deren Verhältnis gleich Wurzel aus 2 ist, haben die Pythis erst einmal angefangen zu rechnen, und gerechnet und gerechnet und gerechnet, um diese zwei verfluchten Zahlen zu finden.
Denn es gibt unendlich viele ganze Zahlen und unendlich viele Brüche, ja vielleicht sogar noch mehr Brüche mit jeweils zwei ganzen Zahlen. Die Behauptung, dass darunter nicht ein einziger Bruch für die Wurzel aus 2 sein solle, klingt allerdings zunächst nicht gerade glaubhaft. So hatten die altindischen Mathematiker den Bruch
für ebendiesen Wert gefunden, der erstaunlich genau an den den wirklichen Wert herankommt. Anders betrachtet aber sehr sehr weit davon entfernt liegt. Wahrscheinlich kannten die Pythis diesen Bruch nicht und auch die Inder hatten wahrscheinlich keine Ahnung, dass die Folge der Ziffern nach dem Komma niemals abreißt. Im Unterschied zu den Dezimalbrüchen mit periodischen Stellen nach dem Komma, gibt es hier auch keine Wiederholung in den Stellen. Diese Zahlen, für die es keinen Bruch aus ganzen Zahlen gibt, heißen irrationale Zahlen.
Die Eigenart irrationaler Zahlen hat den Mathematikern sehr lange viel Kopfzerbrechen bereitet. Sie wollten Klarheit darüber erlangen, wie diese Zahlen zu definieren und zu beschreiben wären, und ob es überhaupt Zahlen im strengen Sinn seien. Der bedeutende deutsche Rechenmeister Michael STIFEL (1486 - 1567) schrieb darüber:
Mit Recht wird bei den irrationalen Zahlen darüber disputiert, ob sie wahre Zahlen sind oder nur fiktive. Denn bei Beweisen an geometrischen Figuren haben die irrationalen Zahlen noch Erfolg, wo uns die rationalen im Stich lassen, und sie beweisen genau das, was die rationalen Zahlen nicht beweisen konnten. Wir werden also veranlasst, ja gezwungen zuzugeben, dass sie in Wahrheit existieren, nämlich auf Grund ihrer Wirkungen ... Aber andere Gründe veranlassen uns zu der entgegengesetzten Behauptung, dass wir nämlich bestreiten müssen, dass die irrationalen Zahlen Zahlen sind. Nämlich wenn wir versuchen, sie der Zählung zu unterwerfen und sie mit rationalen Zahlen in ein Verhältnis setzen, dann finden wir, dass sie uns fortwährend entweichen, so dass keine von ihnen sich genau erfassen lässt ... Es kann aber nicht etwas eine wahre Zahl genannt werden, bei dem es keine Genauigkeit gibt und was zu wahren Zahlen kein bekanntes Verhältnis hat. (Arithmetica integra, Nürnberg 1544)
Diese Sätze wurden immerhin noch mehr als tausend Jahre nach Pythagoras geschrieben.
Eine der wichtigsten irrationalen Zahlen ist die Kreiskonstante Pi (griechischer Buchstabe)
deren Nachkommastellen bis heute auf viele tausend Stellen berechnet wurde. Es gibt keine zwei ganzen Zahlen a und b, für die gilt
Wahrscheinlich schon ARCHIMEDES (das war der Forscher in der Badewanne) hatte einen recht guten Bruch gefunden
Und es gibt z.B.
der noch genauer ist, aber sie alle erreichen nicht die wahre Größe dieser Zahl. Wie man sieht können die Rechnungen so spitzfindig werden, dass sie keine praktischen Ergebnisse liefern. Tatsächlich haben viele Mathematiker nichts gewusst über den irrationalen Charakter von Pi jenseits der fünften oder sechsten Kommastelle. Und dennoch haben diese Leute großartige und wirklich richtige Entdeckungen gemacht.
Hat man HIPPASOS vielleicht (wenn es überhaupt stimmt) aus politischen Gründen um die Ecke gebracht, weil er einfach zu viel wusste?. Und da es die Mehrzahl der Menschen überhaupt nicht interessiert, was es mit diesem ganzen Zahlenkram auf sich hat, blieb das Geheimnis der irrationalen Zahlen unter der Pythis und die Welt war doch in Ordnung.