Die Sache mit den Bienen - und was die alten Inder daraus machten

Diese Aufgabe stammt aus dem alten Indien, wo solche Aufgaben viel Freude bereiteten, lange bevor man in Mitteleuropa so etwas wie Quadratische Gleichungen löste. Ein Bienenschwarm - von der Zahl gleich der Quadratwurzel der Hälfte des ganzen Schwarms - setzte sich auf einen Jasminstrauch. Als die Bienen weiterflogen, ließen sie 8 / 9 des Schwarms zurück. Eine Biene blieb auf einer Lotosblüte, wo sie vom Gesumm ihrer Freundin angelockt worden war. Wieviel Bienen hatte der ganze Schwarm? Die Aufgabe ist ein Beispiel für das Rechnen mit unbekannten Größen (Variablen). Ohne ihren genauen Wert zu kennen, werden sie in Gleichungen eingesetzt und man kann mit ihnen praktisch alle Rechenoperationen ausführen. Das Ziel der Rechnerei ist, die unbekannten Größen schrittweise aus den bekannten Größen zu ermitteln. Bei dieser Aufgabe wird zunächst eine Gleichung für den ganzen Schwarm gebildet. Für die gesamte Anzahl der Bienen wird die Variable z gesetzt (vereinbart). Auf der anderen Seite der Gleichung werden alle gegebenen Werte als Summanden aufgelistet. Für den gesamten Wurzelausdruck wird eine neue Variable x eingesetzt, was zuerst unpraktisch erscheint, sich aber vorteilhaft erweist, weil danach alle z durch x ersetzt werden. Im nächsten Schritt werden alle x auf eine Seite der Gleichung gebracht, denn man könnte eine Variable nicht aus der Variable selbst berechnen. Da hier eine Variable in der 2. Potenz vorkommt, handelt es sich um ein Quadratische Gleichung. Zur Lösung wird sie auf die sogenannte Normalform gebracht, bei der das quadratische Glied keinen Faktor (Koeffizienten) hat. (Natürlich können die Pluszeichen auch Minuszeichen sein, man bezeichnet das Ganze dennoch allgemein als Summe) Heutzutage löst man diese Quadratische Gleichung mit Hilfe der Lösungsformel, die in Europa seit Francois VIETA (1540 - 1603) gebraucht wird. Den Ausdruck unter dem Wurzelzeichen nennt man Diskriminante - kein schöner Name für einen so bedeutenden mathematischen Ausdruck. Je nachdem, ob sie negativ ist oder Null oder positiv, gibt es keine, eine oder zwei Lösungen für die Gleichung. Die Gleichung aus der Aufgabe muss also noch auf die Normalform gebracht werden, dann kann man die Werte für x berechnen. Nun kann man mit der Anfangsgleichung die Werte für z berechnen. Beide Lösungen sind korrekt, für die Aufgabe ist jedoch klar, dass nur eine ganze Zahl in Frage kommt, weil nur ganze Bienen fliegen können. Interessant ist nun die Frage, ob die alten Inder die Aufgabe auf dieselbe Weise gelöst haben. Einer der bekanntesten altindischen Rechenmeister war BRAHMAGUPTA (598 - 665). Er beschäftigte sich auch mit Quadratischen Gleichungen. Hat er die allgemeine Lösungsformel tausend Jahre vor Vieta gekannt? Er benutzte zumindest auch eine allgemeine Form der Quadratischen Gleichung Durch zwei Umformungen erhält man daraus die Normalform ohne Koeffizienten des quadratischen Gliedes. Für seine Form hatte Brahmagupta eine Lösungsformel für x. Setzt man die gegebenen Werte der Aufgabe ein, dann erhält man tatsächlich dieselben Lösungen. Allerdings ist ein Haken an der Sache, man kann nicht auf Anhieb sehen, dass es zwei Lösungen gibt. Brahmagupta wusste, dass es für Quadratische Gleichungen allgemein zwei Lösungen gibt, weil aus einem Quadrat eine positive und eine negative Wurzel gezogen werden kann. Er kannte also die negativen Zahlen. Aber sie spielten bei den praktischen Rechnungen keine Rolle, denn sie hatten keinen realen Sinn. Dass es bei einer Quadratischen Gleichung prinzipiell zwei Lösungen gibt, kann man sich immer vor Augen halten durch den Graphen einer Quadratischen Funktion, die Parabel. Je nachdem, wie man (in Gedanken) die Parabel verschiebt, kann man sich die Art der Lösungen, also die x-Stellen denken. Und man erkennt auch, dass letztlich jede Quadratische Gleichung, die überhaupt eine Lösung hat, negative und positve Lösungen haben muss. Ob Brahmagupta mit solchen Vorstellungen gearbeitet hat, ist nicht bekannt, Funktionen und ihre Graphen sind wirklich eine Erkenntnis der europäischen Mathematiker, hauptsächlich des 18. Jahrhunderts. Hatten die Inder erst einmal ihre Formel gefunden, ließen sich beliebige Aufgaben daraus stellen. Zum Beispiel diese: Der achte Teil einer Affenhorde - quadriert - ging in eine Höhle. Nur zwölf Affen zogen weiter. Wie groß war die Herde? Die Lösungen sind 48 und 16. Da beide Lösungen sowohl ganzzahlig als auch positiv sind, kann man sie für die Aufgabe zulassen. Es muss die alten Rechenmeister stark beschäftigt haben, die Tatsache zu interpretieren, dass ein so eindeutiges Ereignis zwei verschiedene Lösungen haben kann und man kann auch heute noch mit demselben Vergnügen darüber nachdenken. Es gibt sozusagen keine philosophische Erklärung, nur eine mathematische - und die ist unzweifelhaft. Noch mehr muss sie aber die Frage beschäftigt haben, ob es tatsächlich nur diese beiden Lösungen für eine Quadratische Gleichung gibt, denn nichts beweist das. Wieviel Zeit haben Leute wie Brahmagupta wohl damit verbracht, weitere Lösungen zu suchen oder, was natürlich noch besser ist, einen Beweis dafür, wieviele Lösungen es allgemein gibt. Einen solchen Beweis hat erst Carl Friedrich GAUSS erbracht, der noch im 19. Jahrhundert über dieselbe Sache nachdachte. Seinen Beweis nennt man auch den Fundamentalsatz der Algebra. Gauss hat ihn übrigens mehrfach bewiesen. Aber am allermeisten dürfte die Inder doch im Innersten die Frage nach den negativen Lösungen beschäftigt haben. Was haben sie zu bedeuten? Gibt es eine reale Welt der Mathematik neben der realen Welt, in der wir leben? Eine mathematische Welt, in der es Phänomene gibt, die keine Entsprechung in der Alltagswelt haben? Selbst Francois Vieta verneinte eine reale Existenz der negativen Zahlen. Hier noch eine weitere indische Affenaufgabe: Der fünfte Teil einer Affenherde, weniger drei, quadriert, ging in eine Höhle. Ein Affe blieb stehen. Wieviel waren es?

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