| Mathematik |
|
Kettenbrüche - oder über die Anatomie von Zahlen
Teil 1: Am Anfang steht (meistens) EUKLID Dieses Verfahren nennt man den Euklidischen Algorithmus. Ein Algorithmus ist allgemein ein festgeschriebenes Rechenverfahren, das bei bestimmten Rechnungen schematisch angewendet werden kann. So sind z.B. alle Grundrechenoperationen Algorithmen. Die Bezeichnung Algorithmus stammt aus einer unsauberen Überlieferung des Namens AL-HWARIZMI (780 - 850), eines Mathematikers in Bagdad, der solche Rechenverfahren entwickelte. Den zweiten Namen hat dieser spezielle Algorithmus von EUKLID (340 - 270 v.u.Z.), dem bedeutendsten antiken Mathematiker. In seinem Buch "Die Elemente" beschreibt er den Algorithmus allerdings nicht mit seinem eigenen Namen, wie so oft die heutigen Bezeichnungen erst viel später gegebenen wurden. Bei EUKLID heißen die beiden Zahlen "Größen" und der gemeinsame Teiler "gemeinsames Maß". Der Algorithmus heißt "wechselweise Wegnahme" (griechisch: antanairesis), also ein abwechselndes Wegnehmen der einen Zahl (Rest) von der anderen. Im zehnten Buch der Elemente heißt es: Wenn man unter zwei ungleichen Größen abwechselnd immer die kleinere von der größeren wegnimmt, und der Rest niemals genau die vorhergehende Größe misst, dann müssen die Größen inkommensurabel sein. Und inkommensurabel sind zwei Größen, ... für die es kein gemeinsames Maß gibt, mit anderen Worten, die keinen gemeinsamen Teiler haben. Alle anderen Größen sind kommensurabel. Diese scharfsinnigen Überlegungen gehören zu den produktivsten und einflussreichsten der Mathematikgeschichte. Wie alle seine Sätze hat EUKLID auch diesen bewiesen. Und er kann auch sogleich angewendet werden, um zu zeigen, dass die Seite eines Quadrats und dessen Diagonale immer inkommensurabel sind. EUKLID lieferte damit den Beweis für eine mathematische Tatsache, die etwas früher die PYTHAGOREER (eine Mathematiker-Gruppe) ziemlich verunsichert hatte. (Siehe den Beitrag: Warum Hippasos sterben musste ...)
EUKLIDs Beweis
|
 |
Man zeichnet das Quadrat ABCD. Auf der Diagonalen BD wird die Seite AB abgetragen. Das ergibt den Punkt E. Die Diagonale BD ist größer als die Seite AB, denn BD ist die Hypotenuse des Dreiecks ABD. In E wird die Senkrechte auf BD errichtet. Sie schneidet die Seite AD in F (selbst das beweist! Euklid). Es entstehen die Dreiecke ABF und BEF, die kongruent sind (flächengleich und formgleich), denn sie stimmen in zwei Seiten und einem Winkel überein. Daraus folgt, dass das Dreieck FED gleichschenklig und rechtwinklig ist, also FE = ED. Der erste Rest ED der Diagonalen ist also = FE = AF. Nun ist ED die Seite eines weiteren Quadrats FEDG. Auf diese Weise kann aus dem Rest der Diagonale immer noch ein weiteres Quadrat konstruiert werden, dass dieselben Größenverhältnisse hat. | |
 |
Der Beweis, dass Seite und Diagonale nicht kommensurabel sind, wird nun durch Widerspruch geführt. Das heißt, es wird einfach das Gegenteil angenommen: sie sind kommensurabel. Wenn dieser Beweis misslingt, dann gilt das Gegenteil. Man nimmt also an, dass die beiden Größen ein gemeinsames Maß haben. Dann kann man dieses Maß mit X bezeichnen und es gilt:
02.
|
|
X wäre der gemeinsame Teiler von AB und BD. p und q sind zwei natürliche (ganze) Zahlen. Andererseits gilt auch:
03.
Das heißt, auch der Rest ED muss durch X teilbar sein, und das würde auch für alle folgenden Reste gelten. So erhält man eine unendliche Folge immer kürzer werdender Strecken, die aber zugleich alle natürlichzahlige (ganzzahlige) Vielfache einer festen Größe X sein sollen. Das ist jedoch unmöglich. Die Annahme, Seite und Diagonale hätten ein gemeinsames Maß führt somit auf einen unlösbaren Widerspruch, und demzufolge kann nur das Gegenteil richtig sein.
|
|
Der Beweis ist typisch für EUKLID und die Art seiner Geometrie. Man kann die dazugehörigen Konstruktionen ausschließlich mit Lineal und Zirkel vornehmen, wie auch die Skizze verdeutlicht. Man muss keine wirklichen Längen, also Werte messen. Man kann sagen, EUKLID rechnet hier nur mit geometrischen Figuren oder eben "Elementen", aber nicht mit Zahlen. Seine Geometrie ist völlig zahlenlos. Das ist der Ursprung der Verschiedenartigkeit der mathematischen Disziplinen Geometrie und Algebra, die bestimmt irgendwann einmal aufgehoben wird.
EUKLID findet und beschreibt ein mathematisches Gebilde wie:
in einem rein geometrischen Zusammenhang. Man kann dieses Gebilde auch als Zahl auffassen, und zwar als Zahl mit einer ganz bestimmten Form. Die Algebra macht im Grunde nichts anderes, als die Form und innere Struktur von Zahlen zu erkennen und zu beschreiben. Erst 2000 Jahre nach EUKLID begannen Leute wie Francois VIETE und Rene DESCARTES sich bei ihren Untersuchungen von der geometrischen Konstruktion zu lösen und Zahlen als Zahlenformen zu behandeln. Die großen Fortschritte der Algebra im 18. und 19. Jahrhundert gelangen auf Grund einer völlig anderen Auffassung von Zahlen. Schließlich waren z.B. Polynome der Ausdruck für die besondere Zusammensetzung einer Summe, die im Endergebnis auch als Zahl geschrieben werden konnte. Von der Klassifizierung dieser Formen gelangte man zur modernen Gruppentheorie. Wie gelang aber der Schritt weg von der geometrischen Konstruktion? Immerhin leistete EUKLIDs Methode alles was man sich wünschte, nämlich ein eindeutiges Ergebnis. Es gibt mehrere Wege aus dem Reich des Zirkels und Lineals ins Reich der reinen Zahlen. Einer davon soll hier beschrieben werden. Ein gewisser Lord BROUNCKER schickte an den Mathematiker John WALLIS (1616 - 1703) 1655 folgende Formel:
ein, oder verwendet sie zumindest gleichbedeutend. Aus dem Euklidischen Beweis weiß man, dass die Wechselwegnahme ein unendlicher Prozess ist und immer noch ein weiterer Rest übrigbleibt. Das bedeutet, zahlenmäßig gesehen, dass der Wert für
unendlich viele Dezimalstellen hat, weil an das Ergebnis immer noch eine weitere Division angehängt werden kann. Wie bringt man diesen Wert in die Form eines Kettenbruchs? Man sieht, dass die Diagonale (BD) immer größer ist als die Seite (AB), aber immer auch kleiner als das Doppelte der Seite. Daher ist
Die Quadratwurzel aus 2 hat also jedenfalls einen ganzzahligen Teil = 1 (AB). Außerdem muss ED kleiner sein als die Hälfte von AD. So gilt zunächst
Dieses x muss kleiner sein als 1, also ein echter Bruch. Andererseits sieht man (und kann es auch beweisen), dass ED (x) kleiner sein muss als die Hälfte von AB, also kleiner als
So kann man den Kettenbruch wiederum zunächst so schreiben
Dieses x muss größer sein als 0 (Null), dann wird der ganze Bruch kleiner als
Die Schwierigkeit besteht offenbar darin, ein geeignetes x zu finden, damit sich die ganze rechte Seite der Gleichung wertmäßig der linken Seite annähert. (Denn eigentlich dürfte man ja gar kein Gleichheitszeichen setzen oder zumindest ein Zeichen vereinbaren, das besagt: die Quadratwurzel aus 2 ist gleich diesem Wert, wenn man den Kettenbruch unaufhörlich fortsetzt. Deshalb spricht man auch von einer Approximation, was von einem lateinischen Wort stammt, das "Annäherung" bedeutet.) Tatsächlich wird für x einfach der ganze Bruch selbst eingesetzt, was schließlich die endgültige Form des Kettenbruchs ergibt. 05.
Von einem solchen mathematischen Gebilde hat EUKLID nicht einmal geträumt. Erst Rafael BOMBELLI (1526 - 1572), ein italienischer Rechenmeister aus Bologna hat diesen Bruch zur Berechnung der Quadratwurzel aus 2 verwendet. Damit wäre die Angelegenheit erledigt, wenn nicht irgendwie ein unklares Gefühl bliebe, aus welchem Grund für das gesuchte x einfach immer wieder derselbe Bruch eingesetzt wird. Vielleicht hat ja EUKLID doch schon davon geträumt. Im zehnten Buch der Elemente, das von kommensurablen und inkommensurablen Größen handelt, steht gleich am Anfang der folgende Satz Nimmt man bei Vorliegen zweier ungleicher (gleichartiger) Größen von der größeren ein Stück größer als die Hälfte weg und vom Rest ein Stück größer als die Hälfte und wiederholt dies immer, dann muss einmal eine Größe übrigbleiben, die kleiner als die kleinere Ausgangsgröße ist. (Manche Historiker vermuten, dass EUKLID diesen Satz von einem Vorgänger namens EUDOXOS übernommen hat, weshalb er auch das Prinzip des EUDOXOS genannt wird.) Setzt man hier für "die größere Größe" die Seite AB (1) ein und für "die kleinere Größe" das Reststück ED (x), dann vollzieht man mit dem Kettenbruch eigentlich genau EUKLIDs Anweisung, man nimmt vom jeweiligen Rest immer etwas mehr als die Hälfte weg (indem man sie im Nenner hinzufügt). Und das Ergebnis, so verspricht EUKLID, wird kleiner sein als die kleinere Ausgangsgröße, also kleiner als ED (x). Und zwar irgendwann einmal. Irgendwann erreicht man mit diesem Algorithmus einen Punkt, wo der Rest kleiner ist als ED. Entscheidend ist dabei, dass die Differenz zwischen dem kleineren Rest und der kleineren Ausgangsgröße beliebig klein gehalten werden kann, was letztlich bedeutet, dass man den genauen Wert der kleineren Ausgangsgröße erreicht. Allerdings müssen wir uns damit abfinden, dass wir diesen Punkt niemals bei vollem Bewusstsein erreichen werden, denn er liegt, wie wir wissen, in der Unendlichkeit des Kleinen. Aber Dank EUKLID wissen wir wenigstens, dass wir auf dem richtigen Weg sind und nicht Gefahr laufen, nach Jahrmillionen fortgesetzter Kettenbruch-Entwicklung umkehren zu müssen, weil jemand erkannt hat, dass wir doch nicht die Quadratwurzel aus 2 ausrechnen, sondern vielleicht das Ergebnis von 12 geteilt durch 3.
|
| Mathematik |