Dreisatz Rechnung  |  Beispiel Aufgaben

Die Dreisatz-Rechnung ist eine der ältesten und wichtigsten Rechenoperationen. Eine gesuchte Größe wird aus einer bekannten Größe ermittelt. Die bekannte Größe ist immer eine Verhältnisgröße. Die Dreisatz-Rechnung ist im Grunde eine Proportionen-Rechnung. Und weil in der Mathematik dieser Welt viele wichtige Zusammenhänge proportionale Zusammenhänge sind, ist der Dreisatz ein sehr praktisches Mittel, um die Wirklichkeit zu erkennen. Es gibt den einfachen und den zusammengesetzten Dreisatz.

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Zusammengesetzter Dreisatz		Klick

Einfacher Dreisatz

Beim einfachen Dreisatz stehen zwei gleiche Verhältnisse gegenüber, es gibt also immer vier Werte. Das Verhältnis von zwei zusammengehörigen Werten wird als Bruch geschrieben. Die allgemeine Form ist Beispiel 1: 1000 Gramm Äpfel kosten 1.45 Euro. 1320 Gramm Äpfel kosten 1.914 Euro (nicht gerundet). Es gibt zwei Möglichkeiten, die Werte in der allgemeinen Form aufzuschreiben Bei a) werden die beiden verschiedenartigen Größen eines Verhältnisses (Gramm , Euro) untereinander geschrieben. Bei b) werden die beiden gleichartigen Größen aus beiden Verhältnissen untereinander geschrieben. Für die Berechnung sind beide Möglichkeiten richtig und man sollte sich generell für eine "persönliche" Variante entscheiden. Die Dreisatz-Rechnungen funktionieren immer so, dass von den vier Werten (der beiden Verhältnisse) genau drei Werte gegeben sind und ein Wert gesucht wird. Um diesen gesuchten Wert zu berechnen, ist es wichtig, die gegebenen Werte in einer einer der Schreibweisen a) oder b) aufzuschreiben. Wir verwenden die Schreibweise b), denn sie hat folgende leicht zu merkende Rechenweise: Es werden zuerst die verschiedenartigen Größen in eine Zeile geschrieben, dann werden darunter die jeweils gleichartigen Größen geschrieben. Der gesuchte Wert steht dabei ganz rechts unten. Angenommen, es würde der Preis für 1320 Gramm Äpfel gesucht, dann sieht die Schreibweise so aus Dadurch ergibt sich ein Schema, dass man sich ein für allemal einprägen und zur Berechnung des Dreisatzes in zwei Schritten verwenden kann. Und die gesuchte Größe steht immer rechts unten. Beim einfachen Dreisatz unterscheidet man den direkt proportionalen Dreisatz indirekt proportionalen Dreisatz Der Unterschied ergibt sich aus dem realen Sachverhalt. Es sind immer zwei gleichartige und zwei verschiedenartige Größen gegeben, wobei der genaue Wert von einer der vier Größen unbekannt ist. Im Beispiel 1 sind zweimal Äpfel und zweimal Euro aufgeführt. In der Realität sieht das Beispiel 1 so aus: Je mehr Äpfel gekauft werden, umso mehr Euro werden bezahlt. Umgekehrt wird weniger bezahlt, wenn weniger weniger Äpfel gekauft werden. Beim direkt proportionalen Dreisatz bewirkt die Veränderung einer Größe die gleiche (direkt proportionale) Veränderung bei der anderen Größe. Ein Mehr bewirkt ein Mehr und ein Weniger bewirkt ein Weniger. Hat ein Arbeiter einen Stundenlohn von 12 Mark, bekommt er für 10 Stunden Arbeit 120 Mark. Er bekommt für 15 Stunden 180 Mark oder für 7 Stunden 84 Mark. Nun gibt es Sachverhalte, wo die Veränderung der einen Größe die umgekehrte Veränderung der anderen Größe bewirkt, also ein Mehr bewirkt ein Weniger und ein Weniger bewirkt ein Mehr. Beispiel 2: Ein Fahrzeug A mit einer Geschwindigkeit von 60 km/h (Kilometer pro Stunde) braucht für eine bestimmte Strecke s 2,5 Stunden. Wie lange braucht ein Fahrzeug B mit einer Geschwindigkeit von 90 km/h für dieselbe Strecke? Offensichtlich braucht das Fahrzeug mit der höheren Geschwindigkeit weniger Zeit. In diesem Fall liegt eine umgekehrt proportionale Beziehung vor, die mit dem indirekt proportionalen Dreisatz berechnet wird.

Der einfache Dreisatz direkt proportionaler Dreisatz: es liegt eine direkt proportionale Beziehung vor (Mehr bewirkt Mehr und Weniger bewirkt Weniger) indirekt proportionaler Dreisatz: es liegt eine umgekehrt proportionale Beziehung vor (Mehr bewirkt Weniger und Weniger bewirkt Mehr)

Bevor eine Dreisatz-Aufgabe gelöst wird, muss man wissen, um welche Art der Beziehung es sich handelt, deshalb muss man die Aufgabe genau durchlesen und den realen Sachverhalt begreifen. Es gibt kein anderes Verfahren, das die Unterscheidung von direktem und indirektem Dreisatz treffen kann. Es kann passieren, dass ein indirekt proportionaler Sachverhalt mit dem direkten Dreisatz berechnet wird und umgekehrt. Man erhält dabei sogar rechnerisch richtige Lösungen, die aber sachlich falsch sind. Für beide Arten des einfachen Dreisatzes gilt das oben genannte Schema: Unabhängig von der Art der Beziehung können bei jeder Dreisatz-Aufgabe zunächst die Größen nach diesem Schema notiert werden. Im nächsten Schritt muss man allerdings wissen, um welche Beziehung es sich handelt. Der direkt proportionale Dreisatz Für dieses Schema gilt: 1. wird multipliziert und 2. wird dividiert. Dementsprechend kann man die allgemeine Form für den direkt proportionalen Dreisatz schreiben Für die Probe gilt folgende Gleichung für die beiden Verhältnisse Lösung aus Beispiel 1: Der indirekt proportionale Dreisatz Für dieses Schema gilt: 1. wird multipliziert und 2. wird dividiert. Dementsprechend kann man die allgemeine Form für den direkt proportionalen Dreisatz schreiben Für die Probe gilt folgende Gleichung für die beiden Verhältnisse Lösung aus Beispiel 2: top

Zusammengesetzter Dreisatz

Im Vergleich zum einfachen Dreisatz wird der zusammengesetzte Dreisatz weniger verwendet. Er führt aber in sehr interessante Beziehungen der Mathematik. Beim zusammengesetzten Dreisatz stehen drei Verhältnisse nebeneinander, und auch hier soll ein fehlender Wert einer Größe ermittelt werden. Die allgemeine Form ist Beispiel 3: 12 Hennen legen 280 Eier in 20 Tagen. In wieviel Tagen legen 9 Hennen 340 Eier? Die Verhältnisse werden wieder auf zwei Zeilen geschrieben, wobei gleichartige Größen untereinander stehen und der gesuchte Wert rechts unten. Auch hier haben wir wieder ein Schema, das immer für den zusammengesetzten Dreisatz verwendet werden kann. Für dieses Schema gilt folgende Rechenvorschrift: es werden zwei Produkte gebildet dann wird das erste Produkt durch das zweite dividiert oder Für die Probe gilt eine Beziehung, die LEONARDO von PISA im 13. Jahrhundert in seinem Rechenbuch dargestellt hat Lösung aus Beispiel 3: Auch beim zusammengesetzten Dreisatz gibt es etwas zu beachten: die Reihenfolge, in der die drei Verhältnisse nebeneinander geschrieben werden (erste und zweite Zeile). Die allgemeine Regel lautet: Wer ? Wieviel ? In welcher Zeit ? Nur so funktioniert das Rechenschema. Dann kann auch der gesuchte Wert links unten oder mitte unten stehen. Bei links unten wird die Berechnung einfach gespiegelt. Steht der gesuchte Wert mitte unten, dann gilt top  |  Mathematik  |  Beispiel Aufgaben