Achilles und die Schildkröte

Teil 1 Die Antiken Griechen hatten auch schon einen Sinn für spektakuläre Veranstaltungen. Manche allerdings waren so verzwickt, dass man sich erst einmal über ihren Ablauf klar werden musste. So war es auch mit dem Wettlauf zwischen dem berühmten Helden Achilles und der Schildkröte. Der Mathematiker ZENON hatte diesen Wettkampf ins Gespräch gebracht, und wie immer wenn sich Mathematiker etwas in den Kopf setzen, grübeln sie so lange darüber nach, bis sie Klarheit über die Sache haben. Vorausgesetzt, sie kommen zu dieser Klarheit. ZENON jedenfalls kam nur bis zu einer Unklarheit: dass nämlich bei diesem Wettlauf - mathematisch betrachtet - Achilles die Schildkröte niemals einholen könnte, wenn er ihr einen Vorsprung ließe.

Dabei war ZENON Erkärung im Grunde ganz einleuchtend. Wenn die Schildkröte einen gewissen Vorsprung hat und beide loslaufen, dann muss Achilles zuerst die Hälfte des Vorsprungs durchlaufen, um an die Schildkröte heranzukommen. Inzwischen ist die Schildkröte aber auch ein Stück vorangekommen, zwar sehr wenig, aber immerhin tatsächlich vorhanden. Wenn nun Achilles die Hälfte der verbliebenen Distanz durchläuft, hat die Schildkröte wiederum ein winziges Stückchen zugelegt. Da aber auf diese Weise immer eine gewisse Entfernung zwischen Achilles und der Schildkröte verbleibt, die der Held erst durchlaufen muss, wird er die Schildkröte niemals einholen können, denn sie vergößert ja diese Entfernung immer wieder.

Der gesunde Menschenverstand sagt uns natürlich, dass Achilles die Schildkröte nach kurzer Laufzeit überholt. Und doch konnte niemand ZENONs Erklärung auf dieselbe Art widerlegen wie er sie gegeben hatte. Man nennt so eine Geschichte, die scheinbar einen unerklärlichen Widerspruch beweist auch ein Paradoxon (Mehrzahl: Paradoxa). Es gibt viele Paradoxa in der Mathematik und ZENONs Paradoxon ist eines der ältesten. Es begründete eine Jahrhunderte lange mathematische Forschung über die Eigenarten solcher Rechnungen.

Schaut man sich den "Streckenverlauf" des Achilles genauer an, erkennt man, dass Teilstrecken summiert werden, es kommt immer die Hälfte der vorhergehenden Teilstrecke hinzu. Solche Zusammenrechnungen mit einzelnen Gliedern nennt man eine Reihe. Eine solche Reihe ist insgesamt also auch eine Summe. Die Summanden werden zwar immer kleiner, aber die Reihe hört nie auf und gibt es unendlich viele Summanden (Teilstrecken).

Nun kann man fragen, wie groß die Summe eigentlich ist, und diese Frage zu beantworten ist nicht ganz einfach. Denn man fragt nach einem Wert, der mit unendlich vielen Einzelwerten aufgefüllt wird. Im ersten Augenblick könnte man sagen, auch die Summe muss unendlich groß sein. Das ist aber nicht der Fall, und vielleicht ist das wirklich paradox. In unserem Beispiel ist die Summe = 1. Doch eigentlich ist das einleuchtend, denn die Summanden werden immer kleiner, also fast Null, aber eben nur fast. Man findet immer einen noch kleineren Summanden, weil zwischen zwei noch so kleinen Summanden unendlich viele weitere noch kleinere Summanden sind, zwischen denen wiederum unendlich viele noch kleinere ... naja und so weiter. Jeder einzelne Summand ist kleiner als 1 und da jeder nachfolgende Summand kleiner ist als sein Vorgänger, wird die 1 niemals wirklich erreicht werden. Die ganze Summe nähert sich diesem Wert 1 lediglich an. Weil dieser Wert also gewissermaßen eine Grenze bildet für die Summanden, die sie alle zusammen nie erreichen, aber auch nie überspringen werden, nennt man ihn auch den Grenzwert.

Viele Reihen haben einen Grenzwert und es ist die verdienstvolle Aufgabe der Mathematiker, solche Grenzwerte zu finden, wie überhaupt die Reihen etwas sehr Interessantes und Schönes sind, wenn man ihnen buchstäblich auf die Spur kommt. Übrigens kann die Summe auch Minuszeichen enthalten und beispielsweise so aussehen Der Phantasie sind keine Grenzen (nur Grenzwerte) gesetzt und jeder kann sich seine eigenen ganz neuen Reihen ausdenken. Viele große Mathematiker, z.B. Leonhard EULER, haben sich Reihen ausgedacht und sie dann auf ihre Eigenschaften untersucht, und zwar mit anderen Rechenwegen als ZENON. Er lebte um 490 - 430 vor der Zeitrechnung und arbeitete auch in Athen. Sonst ist nicht viel über ihn bekannt, aber seine Paradoxa (es gibt mehrere von ihm) haben ihn unvergesslich gemacht. Man kann für die Achilles-Reihe mehrere Lösungen ansetzen. Für eine Reihe dieser Art (die man auch geometrische Reihe nennt) gibt es eine allgemeine Summenformel. Formt man nun die Reihe etwas um und setzt die Summenformel ein, erhält man das Ergebnis. Es beweist zunächst einmal, dass Achilles die ganze Strecke tatsächlich durchläuft und nicht etwa kurz vor dem Ende in die Unendlichkeit verschwindet. Man kann aber auch ausrechnen, wann Achilles die Schildkröte überholt und diese Rechnung hatte ZENON nicht ausgeführt. Angenommen, Achilles läuft 4 mal schneller als die Schildkröte, dann ist k = 4. S ist die Strecke, die Achilles von der Schildkröte trennt, bis er sie eingeholt hat. Die erste 1 der Reihe ist also der Vorsprung, dann folgen die einzelnen immer kleiner werdenden Vorsprünge. Nach 4/3 des Vorsprungs hat Achilles die Schildkröte eingeholt. Man kann sich die Summierung von unendlich vielen Summanden zu einer endlichen Summe auch an einem Quadrat und dessen Flächenausfüllung veranschaulichen: Skizze Teil 2 War ZENON zu dumm, diese Rechnung auszuführen? Mit Sicherheit nicht. Heute wird allgemein bei der Behandlung des Acilles-Paradoxons gesagt, dass ZENON noch nicht den Grenzwert einer Reihe kannte und deshalb seine Lösung falsch ist. Betrachtet man das Paradoxon etwas genauer, erkennt man, dass eigentlich mindestens zwei verschiedene Vorgänge als ein Vorgang aufgefasst werden. Vielleicht resultiert daraus auch die Unentscheidbarkeit des Problems. ZENON betrachtet lediglich die Strecke, die Achilles der Schildkröte als Vorsprung lässt. Wäre diese Strecke unveränderlich, dann würde Achilles die Schildkröte tatsächlich nie einholen, weil er seinen Lauf beendet, wenn er diesen Vorsprung durchlaufen hat. Es handelt sich um einen Bewegungsablauf, um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung. Wenn Achilles am Ende abbremst und langsamer läuft, dann durchläuft er tatsächlich jene seltsame Reihe immer kleiner werdender Distanzen. Mit genau diesem Problem eines Körpers, der nach einer Bewegung zum Stillstand kommt, hat sich Isaac NEWTON befasst und ziemlich dieselben Überlegungen angestellt wie ZENON. Er fragte sich nämlich, wie es dann möglich sein kann, dass der Körper irgendwann stillsteht, wenn doch die Reihe der Bewegungsstrecken nicht aufhört. Das hat Newton zur Differentialrechnung geführt. ZENON hat sicher so etwas wie den Grenzwert gekannt, nur verwendete er nicht diesen Begriff. Er schrieb einmal: "Wenn vieles ist, dann muss dies zugleich groß und klein sein, und zwar groß bis zur Grenzenlosigkeit und klein bis zur Nichtigkeit." Das ist mit philosophischen Worten formuliert, genau der Kern des Problems, das über die Analysis bis hin zur Mengenlehre führte. ZENON hat bei seinem Paradoxon einen kleinen Denkfehler gemacht, als er annahm, der Vorsprung sei konstant. Denn dieser Vorsprung ändert sich ja in jedem Moment des Wettlaufes. Anstatt nun die Teilstrecken zu berücksichtigen, die zum ursprünglichen Vorsprung hinzukommen, zerlegt er diesen in seine Teilstrecken. ZENONs Reihe summiert so die Einzelstrecken des zuerst gegebenen Vorsprungs. Er untersucht in Wirklichkeit nicht einen Bewegungsablauf, sondern die Zusammensetzung einer Strecke aus Einzelstrecken. Nur der laufende Achilles gibt dem ganzen einen dynamischen Eindruck.

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